李瀚線代

各位同學大家好~

李瀚老師的線代輔導時間從本週六開始囉!

輔導的時間為每週六下午六點至九點

地點在大碩本部的一樓圓桌~

歡迎同學們有關線性代數的問題都可以來問!

各位同學:

由於線代暑期班課程告一段落

所以李瀚老師的線代加強班與輔導時間暫時停止

請大家用功念書~別懈怠了!

若這段時間同學有問題的話(考試方面甚至推甄口試)

各位同學大家好:

由於快要開學的關係,線代加強班時間更正如下

原本的隔週加強班,從9/1起將改為連續三週

9/1、9/8、9/15(六)同一時間晚上6:00在 F102 教室

詳情可參考網站

各位同學大家好~

暑假期間李瀚老師的線代輔導時間要從這週開始囉!

輔導的時間為"隔"週六晚上六點10分開始

地點在大碩本部的一樓圓桌~

歡迎同學們有關線性代數的問題都可以來問!

If A,B and C are square matrices, then tr(ABC)=tr(ACB)?

　　撇棄那種三種矩陣的階數不同之無聊癥結，在思考這個問題之前，我們先給一個例題幫助思考。

Let A and B be two nxn matrix, if AB=O, then BA=O?

　　思考上述反例，我們以最簡單之二階矩陣來想，如果今天要讓兩者矩陣相乘為零矩陣而掉換相乘卻不然，勢必要動些手腳，總不可能考慮其中一個矩陣為零矩陣，如此一來不管怎麼相乘皆會出現零矩陣了！所以我們考慮讓矩陣A很像零矩陣，而矩陣B很不像零矩陣，反例如下：

      [10][00]                 [00] 

          雖然一開始學習特徵值是從Av=xv下手，找到這樣子的非零v向量所對應的x就是特徵值，可是事實上真正在計算特徵值時卻是使用det(A-xI)=0的特性推導出x，然而別忘了有關行列式值為零的一些特性，在心算特徵值時要回歸本初，以下讓我們回顧一下行列式值的概念！

除了真正去推導行列式值(利用降階)之外，我們說一個方陣其行列式值為零時，就是其rank未達到full rank的情況，那如何確定是否滿秩呢？主要觀察其方陣的列向量（行向量）之間是否線性獨立，簡單來說，看看是否能觀察出方陣內任意兩列（行）的向量是有係數倍上的關係（也就是某一列是另一列的幾倍），只要出現這樣子線性相依的情形，我們就確定此方陣本身不可逆，也就是其行列式值為零，那其實也就是det(A-0I)=0（特徵值必有零！）

如果要求特徵值是2x2的方陣，事實上可以直接利用兩個性質，第一是所有特徵值（含重根）的乘積就是本身方陣的行列式值，第二是所有特徵值（含重根）的合為方陣的trace（主對角線元素的和），直接解方程式求出特徵值即可。

如果要求特徵值是3x3甚至4x4的方陣，就需要猜解了，我們實際以一個矩陣來說明如下：

          [5-6-6]

柯西不等式以向量的形式表示敘述如下：（以下符號未註明但皆當作向量表示）

若ａ，ｂ為平面上任意兩非零向量，則｜ａ。ｂ｜＜｜ａ｜｜ｂ｜，

若等號成立時，ａ／／ｂ，即ａ＝ｔｂ，ｔ屬於實數。

其實柯西不等式以內積觀點來看是非常直觀的，內積的定義：ａ。ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓ€，€為介於０～１８０的角度，而且ｃｏｓ€介於一到負一，所以顯然會縮小整個內積；而內積的幾何意義為ｂ向量投影到ａ向量的投影量乘以ａ的長度，所以投影量最大的時候當然是發生在ａ向量跟ｂ向量平行時。

如果是在熟悉的Ｒ＊Ｒ平面，柯西不等式可以轉換成以下敘述：

Define T is a linear transformation by T(A)=A'+A, where A is a two by two matrix.
Is T one to one? onto?

關於這樣子的檢驗，我們先觀察其定義域與對應域的關係，發現是定義於相同的向量空間，所以理所當然兩者對應的維度會相同，由於是二乘二矩陣，故維度皆為四，若我們可以觀察到定義域的維度低於對應域的維度，那顯然這樣子的轉換是不可能達到onto的；那麼究竟要如何判斷這樣子的轉換是否一對一呢？

要觀察是否一對一，我們先行思考關於線性函數的表現，向量空間很重要的元素－零向量，由於是線性的轉換，在定義域的零向量經由Ｔ的轉換之後會映射到對應域的零向量，所以今天我們想要觀察的就是有沒有非零向量經由Ｔ的轉換卻映射到零向量去，如果有的話，那表示我們這樣子的線性函數並非一對一。

相對於證明，我們如果可以在滿足前提，提出適當的反例，那對於解題時間來說將會大大縮減～這也就是批判性思考的好處之一！

李瀚老師在學習數學的過程中，往往希望對觀念能夠擁有＂直覺＂的想法。

但是人總不可能一直是順遂的，所以在面對無法直接給予直覺化的情況之下，來分享一些我念數學的心得。

對於數學題目，我會認為＂真正懂＂的定義是＂你可以解釋的出來為什麼過程是這樣＂，因此在面對各式各樣的數學問題都要以＂真正懂＂為目的出發，才不會學的懵懵懂懂，同時也可以順便訓練腦袋的思考力，一舉兩得，可是，我也不是天才，當然不是每一種題目拿來就會寫，偶爾也會遇到瓶頸，遇到當下想破頭都不知道如何解的題目；若真的到了要考試之際，想要拿取高分，這時我就會選擇拿出殺手鐧-土法煉鋼，其實我認為這不失是另類的數學學習方法，或許較正規的學習方法差了一些，也可能有＂考試機器＂總是如此學習，那何為土法煉鋼呢？為什麼我會說土法煉鋼也是學習方法呢？

我印象最深刻用土法煉鋼來學習數學的時候，就是在高一遇到＂數學歸納法＂，假設n=k成立...驗證n=k+1成立，如此一來就證明完畢，但是，這實在讓我感覺到很不直覺，對於不直覺的數學問題，我就會考慮使用土法煉鋼，不斷的作演練，利用大量的題目來訓練這種技巧，只要往後遇到有關正整數的類似證明題，即可很快反應出使用數學歸納法來證明，畢竟這證明手法是在往後甚至上大學後常會使用到的。

我在教家教的時候，尤其是面對國小的學生，我往往會丟計算練習題給他們練習，因為基礎運算能力是必須的，在面對越來越難的題目，基礎運算能力好，就減少了在現階段不必要的思考，於是我也才會認同土法煉鋼這種作法，又尚明老師常常說＂主題以外，當作已知＂這其中的含意，就有點類似土法煉鋼，土法煉鋼不需要全部都懂，如果你在證明一道題目，你要全部都懂，都了解的話，是不是全部都要證明出來呢？到最後連1+1=2都要證明一次？這就失其題目的用意了。