李瀚線代

If A,B and C are square matrices, then tr(ABC)=tr(ACB)?

　　撇棄那種三種矩陣的階數不同之無聊癥結，在思考這個問題之前，我們先給一個例題幫助思考。

Let A and B be two nxn matrix, if AB=O, then BA=O?

　　思考上述反例，我們以最簡單之二階矩陣來想，如果今天要讓兩者矩陣相乘為零矩陣而掉換相乘卻不然，勢必要動些手腳，總不可能考慮其中一個矩陣為零矩陣，如此一來不管怎麼相乘皆會出現零矩陣了！所以我們考慮讓矩陣A很像零矩陣，而矩陣B很不像零矩陣，反例如下：

      [10][00]                 [00] 

AB=[00][11]=O 但是BA=[10]非零矩陣

　　事實上，此例題的推廣曾在某間數學研究所當作入學考題：

A and B be two 2x2 matrix, AB=O, BA!=O, rank(BA)=? (其中!=為不等於)

　　由上述例題顯然可知道rank(BA)=1，不過現在我們來直接思考這個問題，因為BA為二階矩陣，所以rank僅可能為0、1、2，不過rank若要為0僅有零矩陣才有可能，所以由題目條件BA非零矩陣可知不可能rank(BA)=0，再者AB=O說明A或B至少有一矩陣不可逆，意即det(A)=0或det(B)=0，因此det(BA)=det(B)det(A)=0，代表BA不可逆也就是BA未達滿秩(full rank)，也就是rank(BA)=1。

　　最後回歸主題，tr(ABC)=tr(ACB)?如果AB=O可得ABC=O，也就是前者的trace必為零，所以我們思考反例就要讓矩陣C很不像零矩陣，怎樣很不像零呢？我們考慮給他全部的元素皆為1，反例如下：

        [10][11][00]  [11] 

ACB=[00][11][11]=[00]非零矩陣且trace(ACB)=1不為0

　　很多線代的書籍皆有tr(AB)=tr(BA)，但是多了一個矩陣就無法輕易互換，只能有下列像是時鐘的調換：tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)