李瀚線代

          雖然一開始學習特徵值是從Av=xv下手，找到這樣子的非零v向量所對應的x就是特徵值，可是事實上真正在計算特徵值時卻是使用det(A-xI)=0的特性推導出x，然而別忘了有關行列式值為零的一些特性，在心算特徵值時要回歸本初，以下讓我們回顧一下行列式值的概念！

除了真正去推導行列式值(利用降階)之外，我們說一個方陣其行列式值為零時，就是其rank未達到full rank的情況，那如何確定是否滿秩呢？主要觀察其方陣的列向量（行向量）之間是否線性獨立，簡單來說，看看是否能觀察出方陣內任意兩列（行）的向量是有係數倍上的關係（也就是某一列是另一列的幾倍），只要出現這樣子線性相依的情形，我們就確定此方陣本身不可逆，也就是其行列式值為零，那其實也就是det(A-0I)=0（特徵值必有零！）

如果要求特徵值是2x2的方陣，事實上可以直接利用兩個性質，第一是所有特徵值（含重根）的乘積就是本身方陣的行列式值，第二是所有特徵值（含重根）的合為方陣的trace（主對角線元素的和），直接解方程式求出特徵值即可。

如果要求特徵值是3x3甚至4x4的方陣，就需要猜解了，我們實際以一個矩陣來說明如下：

          [5-6-6]

試求A=[-1 4 2] 之特徵值。

   [3-6-4]

        首先我們可以先稍微檢查一下這個矩陣是否具有零這個特徵值，不過在這個例子似乎是沒有的，所以我們要想辦法＂平移＂主對角線以湊出線性相依的向量，我們可以觀察到在一列二行與三列二行的元素皆為負六，如果可以平移主對角線的元素讓第一列與第三列的一致，那就可以至少先找出一個特徵值！所以發現det(A-2I)=0，因此其必有二這個特徵值，再者先別急著再平移特徵值，觀察一下A-2I這個矩陣，注意其rank(A-2I)只有一（經過基本列運算有兩列被消去），所以利用維度定理我們可以知道dim(ker(A-2I))=2，也就是幾何重數為二，那代數重數也就至少為二，意即特徵值二至少有兩個，最後再搭配trace為特徵值的和就可知特徵值分別為2、2、1。

        事實上，我們在心算特徵值主要的概念就是使向量之間彼此線性相依，利用主對角線平移的技巧來看出特徵值。