李瀚線代

柯西不等式以向量的形式表示敘述如下：（以下符號未註明但皆當作向量表示）

若ａ，ｂ為平面上任意兩非零向量，則｜ａ。ｂ｜＜｜ａ｜｜ｂ｜，

若等號成立時，ａ／／ｂ，即ａ＝ｔｂ，ｔ屬於實數。

其實柯西不等式以內積觀點來看是非常直觀的，內積的定義：ａ。ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓ€，€為介於０～１８０的角度，而且ｃｏｓ€介於一到負一，所以顯然會縮小整個內積；而內積的幾何意義為ｂ向量投影到ａ向量的投影量乘以ａ的長度，所以投影量最大的時候當然是發生在ａ向量跟ｂ向量平行時。

如果是在熟悉的Ｒ＊Ｒ平面，柯西不等式可以轉換成以下敘述：

設ａ，ｂ，ｃ，ｄ為任意實數，則（ａｂ+ｃｄ）^2＜（ａ^2+ｂ^2）(ｃ^2+ｄ^2)，等號成立時ａ，ｂ與ｃ，ｄ會呈相同比例。

如果是在高中數學的階段，上述的定理將會非常大量使用，相對向量形式的問題只是提供一個直觀的想法。

柯西不等式在不但在高中要會應用，在大學時各種科目也會談到柯西不等式，如微積分在求極值而有限制條件的問題，通常使用Lagrange multiplier的手法，但有些問題其實可以用柯西不等式直接秒殺！而當然在以向量空間為基礎出發的線性代數也會談到柯西不等式，甚至是在統計上的基礎－機率中也會提到柯西不等式，譬如(E(X)E(Y))^2＜E(X^2)E(Y^2)，如此多的應用在各種大學專業科目上，可見得柯西不等式的重要性。