李瀚線代

Define T is a linear transformation by T(A)=A'+A, where A is a two by two matrix.
Is T one to one? onto?

關於這樣子的檢驗，我們先觀察其定義域與對應域的關係，發現是定義於相同的向量空間，所以理所當然兩者對應的維度會相同，由於是二乘二矩陣，故維度皆為四，若我們可以觀察到定義域的維度低於對應域的維度，那顯然這樣子的轉換是不可能達到onto的；那麼究竟要如何判斷這樣子的轉換是否一對一呢？

要觀察是否一對一，我們先行思考關於線性函數的表現，向量空間很重要的元素－零向量，由於是線性的轉換，在定義域的零向量經由Ｔ的轉換之後會映射到對應域的零向量，所以今天我們想要觀察的就是有沒有非零向量經由Ｔ的轉換卻映射到零向量去，如果有的話，那表示我們這樣子的線性函數並非一對一。

相對於證明，我們如果可以在滿足前提，提出適當的反例，那對於解題時間來說將會大大縮減～這也就是批判性思考的好處之一！

現在讓我們來觀察Ｔ的表現，經由Ｔ轉換過的矩陣，我們可以發現在主對角線上來說只是便乘以二而已，而且經由Ｔ的轉換之後，由於原本的矩陣加上轉置矩陣，非主對角線的部分則會相加一致，升級為對稱矩陣，於是考慮主對角線皆為零，副對角線一正一負的矩陣經由Ｔ轉換可以得到零矩陣（也就是零向量），因此可推得Ｔ並非一對一！

既然已經知道轉換出的矩陣皆為對稱矩陣，那是否onto的問題也就呼之欲出，因為對稱的關係，我們可以知道其副對角線將會相同，於是原本可以控制的維度最多三維，明顯沒有達到原先二乘二矩陣的維度四，因此Ｔ也非onto。

在未來如果有同學寄信給李瀚老師問這種較簡易的問題，老師就可以直接以類似此次的方式直接回應給同學，同時也讓其他的朋友可以一起分享！